2.
Sucesión
de Fibonacci.
- Leonardo
de Pisa (1170-1241), más conocido como Fibonacci, uno de
los grandes matemáticos europeos de la Edad Media, viajó
durante su juventud al Norte de África, entrando en contacto con
la cultura árabe. Conoció el sistema decimal indo-arábigo
y al regresar a su patria publicó su obra Liber Abaci con
la que divulgó el uso de las cifras árabes y el cálculo
con ellas, mostrando la ventaja que este sistema de numeración representaba
frente al sistema de numeración romano que se utilizaba en su país.
- En
el siglo pasado el matemático francés Edouard Lucas, interesado
por la teoría de números y estudioso del Liber Abaci,
ligó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica
que aparece en un sencillo problema de la mencionada obra.
“Un
par de conejos adultos, macho y hembra, empiezan a procrear a los dos meses
de sus nacimiento, engendrando siempre un único par macho y hembra,
a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más,
de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de
los conejos, ¿cuántos contendría el cercado al cabo
del año?"
- En
el gráfico se muestra el problema partiendo de una pareja recién
nacida de conejos y lo que sucedería durante los siete primeros
meses.
1,
1, 2, 3, 5, 8, ..
La inmediatamente más sencilla 1,3,4,7,
....se denomina
sucesión de Lucas.
- La
popularidad de la sucesión de Fibonacci se debe en parte a causa
de su tendencia a presentarse en los lugares más insospechados,
así en la naturaleza aparece en las piñas de las coníferas,
se aprecian dos grupos de espirales dirigidas en sentidos contrarios. Contando
cuidadosamente el número de espirales que hay en cada sentido, se
obtienen dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci,
siendo las combinaciones más habituales (5,8) y (8,13).
Este comportamiento también se da en la colocación de las
semillas en los girasoles.
- La sucesión
de Fibonacci presenta una inagotable cantidad de curiosas propiedades:
- Cada término se obtiene de la suma de los dos anteriores: Fn
= Fn-2
+ Fn-1.
- Dos números de Fibonacci consecutivos son siempre primos
entre sí, m.c.d.(Fn ,Fn+1)=1.
- Si m es múltiplo de n entonces Fm es múltiplo
de Fn.
- F1 +F2 +....+Fn
= Fn+2
-1.
- Salvo en el cuarto término, si Fn es primo
entonces n es primo. El reciproco es falso pues 19 es primo y F19
=4181=37x113 es compuesto.
-
John Cohn, en 1963 demostró que los únicos cuadrados perfectos
de la sucesión son el 1 y el 144, y los únicos cubos perfectos
son el 1 y el 8.
- ...
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